এসএসসি গণিত ষষ্ঠ অধ্যায় (রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ)

obtuse-angle

স্থান, তল, রেখা ও বিন্দুর ধারণা

আমাদের চারপাশে বিস্তৃত জগত (Space) সীমাহীন। এর বিভিন্ন অংশ জুড়ে রয়েছে ছোট বড় নানা রকম বস্তু। ছোট বড় বস্তু বলতে বালুকণা, আলপিন, পেন্সিল, কাগজ, বই, চেয়ার, টেবিল, ইট, পাথর, বাড়িঘর, পাহাড়, পৃথিবী, গ্রহ-নক্ষত্র সবই বোঝান হয়। বিভিন্ন বস্তু স্থানের যে অংশ জুড়ে থাকে সে স্থানটুকুর আকার, আকৃতি, অবস্থান, বৈশিষ্ট্য প্রভৃতি থেকেই জ্যামিতিক ধ্যান-ধারণার উদ্ভব।

এখন আমরা আমাদের চারপাশের বিভিন্ন বস্তুর একটি ভিডিও দেখবো।

 

কোনো ঘনবস্তু (Solid) যে স্থানে অধিকার করে থাকে,তা তিন দিকে বিস্তৃত। এ তিন দিকের বিস্তারেই বস্তুটির তিনটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য,প্রস্থ ও উচ্চতা) নির্দেশ করে। সেজন্য প্রত্যেক ঘনবস্তুই ত্রিমাত্রিক (Three dimensional) যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা ( দৈর্ঘ্য,প্রস্থ ও উচ্চতা) আছে। একটি গোলকের তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার ভিন্নতা স্পষ্ট বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খন্ডে বিভক্ত করা যায়।

 

চিত্রঃ বাক্স ও গোলক

 

three_dimensional three_dimensional_2

 

আরও স্পষ্টভাবে, বাক্স ও বৃও থেকে গোলকের অ্যানিমেশন

 

Circle-vs-Sphere          cube_S

 

 

ঘনবস্তুর উপবিভাগ তল (Surface) নির্দেশ করে অর্থাৎ প্রত্যেক ঘনবস্তু এক বা একাধিক তল দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। যেমন, একটি বাক্সে ছয়টি পৃষ্ঠ ছয়টি সমতলের প্রতিরূপ। গোলকের উপরিভাগও একটি তল। তবে বাক্সের পৃষ্ঠতল ও গোলকের পৃষ্ঠ তল ভিন্ন প্রকারের প্রথমটি সমতল (Plane), দ্বিতীয়টি বক্রতল (Curved Surface)।

 

তল দ্বিমাত্রিক (Two-dimensional) :

 

এর শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কোনো উচ্চতা নাই। একটি বাক্সের দুইটি মাত্রা ঠিক রেখে তৃতীয় মাত্রা ক্রমশ হ্রাস করে শূন্যে পরিণত করলে, বাক্সটি পৃষ্ঠবিশেষ মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে ঘনবস্তু থেকে তলের ধারণায় আসা যায়। দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে একটি রেখা (Line) উৎপন্ন হয়। যেমন, বাক্সের দুইটি পৃষ্ঠতল বাক্সের একধারে একটি রেখায় মিলিত হয়। এই রেখা একটি সরলরেখা (Straight Line)। একটি লেবুকে একটি পাতলা ছুরি দিয়ে কাটলে, ছুরির সমতল যেখানে লেবুর বক্রতলকে ছেদ করে সেখানে একটি বক্ররেখা (Curved Line) উৎপন্ন হয়।

 

 

রেখা একমাত্রিক (One-dimensional):

এর শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নেই। বাক্সের একটি পৃষ্ঠ-তলের প্রস্থ ক্রমশ হ্রাস পেয়ে সম্পূর্ণ শূন্য হলে, ঐ তলের একটি রেখা মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে ধারণা থেকে রেখার ধারণায় আসা যায়।

 

 

 

দুইটি রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিন্দুর উৎপত্তি হয়। অর্থাৎ দুইট রেখার ছেদস্থান বিন্দু (Point) দ্বারা নির্দিষ্ট হয়। বাক্সের দুইটি ধার যেমন, বাক্সের এক কোণায় একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, শুধু অবস্থান আছে। একটি রেখার দৈর্ঘ্য ক্রমশ হ্রাস পেলে অবশেষে একটি বিন্দুতে পর্যবসিত হয়। বিন্দুকে শূন্য মাত্রার সত্তা (Entity) বলে গণ্য করা হয়।

 

কোণ

সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রে, OP ও OQ রশিদ্বয় তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু O তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। O বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু। OP এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ এর যে পার্শ্বে P আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে ∠POQ এর অভ্যন্তর বলা হয়। কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয় এমন সকল বিন্দুর সেটকে এর বহির্ভাগ বলা হয়।

 

angle

 

রাস্তায় দিক নির্দেশনায় কোণের ব্যবহার

 

road

 

লম্ব, সমকোণ

একটি সরলকোণের সমদ্বিখন্ডককে লম্ব এবং সংশিষ্ট সন্নিহিত কোণের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। পাশের চিত্রে, ∠BAD সরলকোণ A বিন্দুতে AC রশ্মি দ্বারা ফলে ∠BAC ও ∠CAD সন্নিহিত কোণ দুইটির প্রত্যেকে সমকোণ এবং BD ও AC বাহুদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

 

rightangle-des

 

সূক্ষ্মকোণ কোণ ও স্থূলকোণ

এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। এখানে ∠AOB এক সমকোণ।

 

obtuse-angle-des

 

সম্পূরক কোণ

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ২ সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ। AB একটি সরলরেখার O অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। OC একটি রশ্মি যা OA রশ্মি ও OB রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB কোণের পরিমাপের সমান, অর্থাৎ ২ সমকোণ, কেননা AOB একটি সরলকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর সম্পূরক কোণ।

 

 

বিপ্রতীপ কোণ

কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। ∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ। দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।

 

 

অনুশীলনী

এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।

 

obtuse-angle

 

সঠিক উত্তরে টিক (√) চিহ্ন দাও।

∠AOC এক সমকোণ (ভুল উত্তর, সঠিক উত্তরঃ ∠AOC সূক্ষ্মকোণ)
∠AOD স্থূলকোণ (সঠিক উত্তর)
∠AOB সূক্ষ্মকোণ (ভুল উত্তর, ∠AOB এক সমকোণ)